КОЕ-ЧТО ОБ ОТНОШЕНИЯХ ЧИСЕЛ ДЕСЯТИЧНЫХ И ЧИСЕЛ ДВОИЧНЫХ

            Двоичная + десятичная ≠ любовь

 

Привычная для пользователя арифметика, это десятичная арифметика.

Существуют также b-ичные арифметики, где b- база системы счисления отличная от 10, принимающая любое ненулевое значение [1].

Для отображения чисел в разных масштабах используется запись чисел с плавающей точкой в виде произведения знаковой мантиссы и некоторой произвольной степени базы. Это, так называемая, экспоненциальная запись числа. Степень базы часто называют экспонентой.

Если экспонента числа фиксирована и мантисса числа является целым числом, то такой формат называется форматом с фиксированной точкой.  Частным случаем формата с фиксированной точкой является целое число, в котором экспонента равна нулю. Такой формат является форматом целого числа.

Если мантисса представляет собой дробное число в b-ичной системе счисления с целой частью c≠0 и c < b,  то такое число называется нормализованным.

Числа с с=0, но с первой ненулевой цифрой после точки часто называют числом, представленным в нормальном виде.

Несмотря на то, что по своей физической природе числа являются приближенными, для вычислительного устройства это точные числа и операции над ними вычислительное устройство должно производить с заданной пользователем точностью.

Под точными вычислениями в арифметике подразумевают получение результата с заданным количеством верных значащих цифр после точки [2].

Все вычисления в компьютере производятся в двоичном виде. Для них база b = 2.

Поскольку двоичная и десятичная системы счисления несоизмеримы, то при конвертации  десятичных вещественных чисел в двоичный код чаще всего мы получаем приближенное значение   десятичного числа, представленного этим двоичным кодом. Поэтому, при переводе десятичных чисел в двоичные возникают погрешности представления.

Десятичные числа, которые имеют точный двоичный эквивалент, называют представимыми.

Десятичные числа, которые не имеют точного двоичного эквивалента, называются непредставимыми.

Все целые десятичные числа представимы, если количество значащих цифр в  их двоичном эквиваленте  не превышает разрядную сетку области машинного слова, в которую они записываются.

Чем большим количеством двоичных разрядов представлено десятичное число в двоичном виде, тем меньше ошибка представления. Этим, в частности,  объясняется стремление постоянно наращивать разрядность операционного регистра процессора.

Число, представленное точно, называется числом бесконечной точности. Число бесконечной точности может содержать бесконечное количество цифр.

Любое десятичное число, двоичный эквивалент которого содержит количество значащих цифр, превышающее разрядную сетку машинного слова, может быть представлено только приближенно.

Арифметические действия, в результате которых получается результат с  превышением разрядности мантиссы машинного слова, возвращают приближенное число.

Приближенные числа могут содержать верные  и неверные  цифры.

Неверные цифры при вычислениях влияют на точность и иногда могут приводить совершенно к неправильным результатам.

В соответствие с теорией приближенных вычислений, для получения правильных результатов, приближенные числа округляются таким образом, чтобы исключить неверные цифры [2].

Точность, которую пользователь  хочет, или может получить при вычислениях, определятся количеством верных цифр, которые обеспечивает вычислительный алгоритм.

Любое двоичное число можно округлить до заданного количества двоичных цифр, отбрасывая лишние разряды.

Аналогично, любое десятичное число можно округлить до требуемого количества десятичных цифр, отбрасывая лишние цифры.

Нельзя простым отбрасыванием лишних двоичных цифр в двоичном числе округлить его десятичный эквивалент  до заданного количества десятичных цифр, т.к. уменьшение разрядов двоичного эквивалента десятичного числа приводит к уменьшению точности представления десятичного числа в двоичном виде и, как следствие, к увеличению числа неверных цифр в его десятичном эквиваленте.

Любое вещественное число  в форме десятичной дроби, может быть точно представлено в формате числа с плавающей точкой, в котором мантисса  является дробным или целым десятичным числом. Экспонента в числе с плавающей точкой будет указывать положение точки в этом числе.

Если десятичное число представлено в формате числа с плавающей точкой с целочисленной мантиссой, то мантисса и экспонента этого числа могут быть точно проконвертированы в двоичный код.

Литература

  1.  Системы счисления.  https://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Системы_счисления
  2.  Основные правила приближенных вычислений   https://studopedia.info/1-39119.html

 

Я изобретатель, имею18 авторских свидетельств СССР на изобретения

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *